令和6年測量士 No.16 TS誤差伝播

問題

Q16. 令和6年午前〔No.16〕

公共測量におけるトータルステーション（以下「TS」という。）を用いた細部測量において，地形，地物等の状況により，図16に示すとおり基準点A及び基準点BからTS点Cを設置することとした。次の文は，このTS点の水平位置の精度（標準偏差）を求める手順について述べたものである。

基準点A，基準点Bの平面直角座標系（平成14年国土交通省告示第9号）に基づく座標値は表16-1のとおりである。

基準点AにTSを整置し，放射法によりTS点Cの観測を行ったところ，表16-2の結果を得た。使用したTSの水平距離 D を測定する精度（標準偏差 σ_D）は5 mm，水平角 α を測定する精度（標準偏差 σ_α）は5″とする。また，TSによる距離測定と角度測定は独立で互いに影響を与えないものとし，基準点の誤差及びその他の観測誤差は考えないものとする。

表16-1
	X座標値（m）	Y座標値（m）
基準点A	160.000	50.000
基準点B	20.000	190.000

表16-2
	観測値
基準点A ～ TS点Cの水平距離 D	100.000 m
基準点Bに向かう方向を基準にして TS点C方向を測定した観測角 α（水平角）	285° 00′ 00″

基準点AからTS点Cへの方向角 θ は，観測した水平角 α 及び基準点Aから基準点Bへの方向角 T と式16-1の関係がある。式16-1に対する誤差伝搬の法則から，方向角 θ の標準偏差 σ_θ について，σ_θ＝σ_α であることが分かる。

θ＝T＋α－360　…… 式16-1

ここで，式16-1の角度の単位は度とする。

TS点CのX座標 X_C 及びY座標 Y_C は，基準点AからTS点Cの観測によって得られる水平距離 D と方向角 θ を変数とした関数 f(D, θ) 及び g(D, θ) として，それぞれ式16-2及び式16-3のように表すことができる。ここで，X_A，Y_A はそれぞれ基準点AのX座標値，Y座標値である。

X_C＝f(D, θ)＝X_A＋D cos θ　…… 式16-2

Y_C＝g(D, θ)＝Y_A＋D sin θ　…… 式16-3

距離と角度の測定が独立であることから，観測値 D，θ における X_C の分散 σ_{X_C}² は，式16-2に対して誤差伝搬の法則を用いると式16-4で求められる。

σ_{X_C}²＝[(∂f/∂D)(D, θ)]² σ_D²
＋[(∂f/∂θ)(D, θ)]² σ_θ²　…… 式16-4

Y_C の分散 σ_{Y_C}² についても，式16-3において上記と同様に考えることができる。

このとき，今回設置したTS点CのX座標値及びY座標値の標準偏差 σ_{X_C}，σ_{Y_C} は幾らか。最も近いものの組合せを次の1 ～ 5の中から選べ。

ただし，式16-2，式16-3及び式16-4の距離の単位はmm，角度の単位はラジアンとし，1ラジアンは（2 × 10⁵）″とする。

なお，関数の値が必要な場合は，巻末の関数表を使用すること。

1．σ_{X_C}＝3 mm，σ_{Y_C}＝3 mm

2．σ_{X_C}＝3 mm，σ_{Y_C}＝5 mm

3．σ_{X_C}＝4 mm，σ_{Y_C}＝5 mm

4．σ_{X_C}＝5 mm，σ_{Y_C}＝3 mm

5．σ_{X_C}＝5 mm，σ_{Y_C}＝5 mm

図16 基準点A・BとTS点C、北方向、観測角α、方向角T・θ、水平距離Dの関係

出題時の関数表

問題文で指定されている関数表です。拡大して確認できます。

出典：国土地理院・令和6年の問題冊子

正解・解説

答え

答えは 2。

正答根拠

A(160,50) から B(20,190) への方向角 T は，北を基準にすると 135°。観測角 α=285° だから，
θ = T + α − 360 = 135° + 285° − 360° = 60°。

X_C = X_A + D cosθ，Y_C = Y_A + D sinθ。
誤差伝播は，
σ²_Xc = (∂f/∂D)²σ²_D + (∂f/∂θ)²σ²_θ
σ²_Yc = (∂g/∂D)²σ²_D + (∂g/∂θ)²σ²_θ を使う。

D=100.000m = 100000mm，σ_D=5mm。
σ_α=5″ で，問題文より 1rad=(2×10^5)″ だから，
σ_θ = 5 / (2×10^5) = 2.5×10^-5 rad。

θ=60° なので，cos60°=0.500，sin60°=0.866。
∂f/∂D=cosθ=0.500
∂f/∂θ=−D sinθ=−100000×0.866=−86602.5
∂g/∂D=sinθ=0.866
∂g/∂θ=D cosθ=100000×0.500=50000

σ²_Xc=(0.500)²×5² + (86602.5)²×(2.5×10^-5)²
= 6.25 + 4.69 = 10.94
よって σ_Xc = √10.94 ≒ 3.3mm

σ²_Yc=(0.866)²×5² + (50000)²×(2.5×10^-5)²
= 18.75 + 1.56 = 20.31
よって σ_Yc = √20.31 ≒ 4.5mm

最も近い組合せは σ_Xc=3mm，σ_Yc=5mm。

したがって，答えは 2。

関連知識　距離と方向角から求める座標増分は ΔX=S cosT、ΔY=S sinT であり、距離誤差と角度誤差の寄与は方向によってX・Yへ異なる割合で配分される。この共分散を図示したものが誤差楕円である。

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問題・正答の出典：国土地理院「測量士・測量士補試験問題・解答例」。問題・解説は学習用に編集しています。解説は国土地理院が作成・推奨するものではありません。法令や作業規程の改正により、現在の取扱いと異なる場合があります。