問題
Q4. 令和6年 午前〔No.4〕
図4に示すような三次元直交座標系において、ある点 (x, y, z) を z軸の周りに図4に示す方向へある角度回転させたとき、式4により点 (x′, y′, z′) に移されるものとする。
図4に示すような三次元直交座標系において、ある点 (x, y, z) を z軸の周りに図4に示す方向へある角度回転させたとき、式4により点 (x′, y′, z′) に移されるものとする。
点 A (1.000, 2.000, 3.000) が式4により点 A′ に移されるとき、点 A′ の座標値は幾らか。
また、式4により z軸の周りに図4に示す方向へ回転する角度は幾らか。
最も近い数値の組合せを、次の 1～5 の中から選べ。
なお、関数の値が必要な場合は、巻末の関数表を使用すること。
1．（−1.232，1.866，3.000）／ 30°
2．（−1.232，1.866，3.000）／ 60°
3．（ 2.232，0.134，3.000）／ 30°
4．（ 2.232，0.134，3.000）／ 60°
5．（ 4.464，0.268，6.000）／ 60°
出題時の関数表
正解・解説
答え
答えは 2。
正答根拠
z軸回りの回転では，x′=x cosθ−y sinθ，y′=x sinθ+y cosθ，z′=z を使う。z軸回りなので z は変わらない。
A(1.000, 2.000, 3.000) を代入すると，
x′=cosθ−2sinθ
y′=sinθ+2cosθ
z′=3.000
θ=60° とすると，cos60°=0.500，sin60°=0.866 より，
x′=1×0.500−2×0.866=−1.232
y′=1×0.866+2×0.500=1.866
したがって A′=(−1.232, 1.866, 3.000) になる。
1× 座標値は合っているが，角度が 30° になっているのが誤り。
2○ (−1.232, 1.866, 3.000)／60° で一致する。
3× 回転後の座標値と角度30°のどちらも，この問題の条件に合わない。
4× 角度60°は合っているが，回転後のx′・y′の値が違う。
5× z軸回りの回転で z が 6.000 に変わることはない。
したがって，答えは 2。
関連知識 純粋な回転を表す行列は長さと角度を保存し、行列式が+1になる。z軸回りの回転では x²+y²=x′²+y′² と z′=z が計算結果の検算に使える。
問題・正答の出典：国土地理院「測量士・測量士補試験問題・解答例」。問題・解説は学習用に編集しています。解説は国土地理院が作成・推奨するものではありません。法令や作業規程の改正により、現在の取扱いと異なる場合があります。