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技術士基礎科目令和7年度 Ⅰ－３－３｜問題と解説

問題 Ⅰ－３－３

図のような関数y＝f（x）をaからcの区間で定積分した値を，シンプソン法（2次のニュートン・コーツの閉公式）により近似的に求めたい。このときに用いる式として，最も適切なものはどれか。ただし，a，b，cはx軸上に等間隔（幅h）に並んだ点である。

1　h／2（f（a）＋f（c））

2　h（f（a）＋f（c））

3　h／6（f（a）＋4f（b）＋f（c））

4　h／4（f（a）＋4f（b）＋f（c））

5　h／3（f（a）＋4f（b）＋f（c））

関数y＝f（x）と点a，b，c

正解：5

解説

図の積分区間は幅hの2区間である。3点を通る2次式の積分から係数を求める。

t＝(x−b)/hと置くと、a,b,cはt＝−1,0,1に対応する。補間式を q(t)＝αt²＋βt＋γ とすると、γ＝f(b)、2α＝f(a)＋f(c)−2f(b)である。

dx＝h dt。βtの積分は左右で打ち消され、h∫₋₁¹q(t)dt は h(2α/3＋2γ)になる。αとγを戻せば、両端の係数が1、中点の係数が4となる。

近似積分値は h3{f(a)＋4f(b)＋f(c)}。ここでhは区間全体の幅ではなく、隣り合う点の間隔である。

台形則は両端値だけを使うのに対し，シンプソン法は中点を4倍して2次曲線で近似する。シンプソン法の係数は1：4：1，前係数はh／3である。

問題・正答の出典：公益社団法人日本技術士会（公式の過去問題・公式正答）
掲載している解説は日本技術士会の公式解説ではありません。