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技術士基礎科目令和6年度 Ⅰ－３－１｜問題と解説

問題 Ⅰ－３－１

変数f，gと変数x，yの間には，

f＝f（x，y）

g＝g（x，y）

の関係があるとする。このとき，関数u（f，g）のf，gによる偏微分とx，yによる偏微分は次式によって関連付けられる。

∂u∂x∂u∂y＝［J］∂u∂f∂u∂g

ここで［J］はヤコビ行列と呼ばれ，ここでは2×2の行列となる。［J］として，最も適切なものはどれか。

1　∂x∂f∂y∂f∂x∂g∂y∂g

2　∂f∂x∂f∂y∂g∂x∂g∂y

3　∂u∂f∂u∂g∂u∂x∂u∂y

4　∂f∂x∂g∂x∂f∂y∂g∂y

5　∂x∂f∂x∂g∂y∂f∂y∂g

正解：4

解説

uがfとgを通してx,yに依存することを使い、設問の微分ベクトルを結ぶ行列を求める。

略記u_x＝∂u/∂xなどを使う。xの変化はf経由とg経由の両方でuに伝わるので、

u_x＝f_xu_f＋g_xu_g

u_y＝f_yu_f＋g_yu_g

右辺の列ベクトルは(u_f,u_g)の順。第1行にはxによる微分の係数、第2行にはyによる微分の係数を置く。

設問の行列は ∂f/∂x∂g/∂x∂f/∂y∂g/∂y。行列の名称だけでなく、掛けるベクトルの順序に合わせて決める。

合成関数の微分では，外側の微分に内側の微分を掛けて足す連鎖律を使う。行列の行は出力側 x，y の微分，列は中間変数 f，g に対応する。行列の並び順を連鎖律の各項と照合すると転置の誤りを防げる。

問題・正答の出典：公益社団法人日本技術士会（公式の過去問題・公式正答）
掲載している解説は日本技術士会の公式解説ではありません。