Q3. 次の文のア及びイに入る数値の組合せとして最も適当なものはどれか。次の中から選べ。
なお、関数の値が必要な場合は、＜関数表＞を使用すること。
三角形ABCで∠ABCの角度を同じ条件で5回測定し、表3の結果を得た。このとき、∠ABCの角度の最確値の標準偏差の値はアとなる。
また、表3の測定値の最確値を∠ABCの角度とし、辺ABの辺長を3.0m、辺BCの辺長を8.0mとしたとき、辺CAの辺長はイとなる。
1．ア：1.4″ イ：7.0m
2．ア：1.4″ イ：9.8m
3．ア：2.8″ イ：5.6m
4．ア：2.8″ イ：9.8m
5．ア：3.2″ イ：7.0m
問題図表
正解・解説
解説
答え
1
問題の図表
問題図表
正答根拠
平均値の標準偏差と余弦定理
繰り返した角度観測を平均して角度を定め、その角度と二辺から残りの辺を求める。観測値のばらつきと辺の長さは別々に計算する。
σ平均=√{Σv2/[n(n-1)]}
AC2=AB2+BC2-2AB×BC cos B
- v
- 観測値と平均値との差
- n
- 観測回数
- 1
アは、5回の角度観測から最確値の標準偏差を求める。
表3の60°0′1″と60°0′5″は、59°59′61″、59°59′65″として秒をそろえる。
- 2
平均は (57+61+59+65+58)÷5
=60″ なので、最確値は 60°00′00″ である。最確値の標準偏差は、同じ精度で繰り返した角度観測のばらつきを見るため、σ
=√{Σv2÷n(n−1)} を使う。 - 3
残差の二乗和は 32+12+12+52+22
=40 、観測回数は n=5 なので、σ=√{40÷(5×4)} となる。=√2 =1.4″ イは、2辺AB、BCとその間の角∠ABCが分かっているので余弦定理を使う。
- 4
CA2
=AB2+BC2−2AB×BC×cos∠ABC に代入し、CA2=3.02+8.02−2×3.0×8.0×cos60° 、CA=49 =√49 である。=7.0m
したがって、①が正解となります。