問題
Q14. 図14のように，高低差 Z を求めるために，トータルステーション（以下「TS」という。）を用いて，放射法により既知点 A から求点 B を観測した。
既知点 A から求点 B までの斜距離を D，高低角を θ，高低差を Z とすると，高低差 Z は Z = f(D, θ) = D sin θ で表される。
斜距離 D，高低角 θ それぞれの観測値の標準偏差を σD，σθ とする。また，TS による距離測定と角度測定は互いに影響を与えないものとし，その他の誤差は考えないものとする。
斜距離 D と高低角 θ の観測が互いに独立であることから，両者の共分散は 0 となる。それぞれの観測値の分散を σD2，σθ2 とした場合，高低差 Z の分散 σZ2 は，誤差伝播の法則から σZ2 = (∂f/∂D)2σD2 + (∂f/∂θ)2σθ2 で求められる。
ここで，既知点 A から求点 B を観測した測定値は，斜距離の測定距離 D0 = 200.000 m，高低角 θ0 = 30°00′00″ であり，使用した TS の距離測定の精度（標準偏差）は（5＋5×10−6D）mm（D は mm 単位の測定距離），角度測定の精度（標準偏差）は 5″ とする。このとき，高低差 Z の標準偏差 σZ は幾らか。最も適当なものを次の中から選べ。
ただし，式の距離の単位は mm，角度の単位はラジアンとし，1 ラジアンは（2×105）″ とする。
なお，関数の値が必要な場合は，巻末の関数表を使用すること。
1．3.91 mm
2．4.13 mm
3．5.27 mm
4．6.19 mm
5．6.76 mm
出題時の関数表
正解・解説
答え
答えは 3。
正答根拠
この問題は、Z = D sinθ で表される高低差について、誤差伝播の法則から 高低差の標準偏差 σZ を求める問題である。
σZ2 = (∂f/∂D)2σD2 + (∂f/∂θ)2σθ2
ここで f(D,θ)=D sinθ だから、
∂f/∂D = sinθ、∂f/∂θ = D cosθ である。
ここで f(D,θ)=D sinθ だから、
∂f/∂D = sinθ、∂f/∂θ = D cosθ である。
- まず距離精度 σD を問題文の式から求める。
- 次に角度精度 5″ を ラジアン に直す。
- 偏微分値を出して、誤差伝播式へ代入する。
D = 200.000 m = 200,000 mm だから、距離精度は
σD = 5 + 5×10-6×200,000 = 6 mm
である。角度精度は
σθ = 5″ = 5/(2×105) = 2.5×10-5 rad
となる。さらに θ = 30° より
∂f/∂D = sin30° = 0.5
∂f/∂θ = 200,000×cos30° ≒ 173,205
なので、
σZ2 = (0.5×6)2 + (173,205×2.5×10-5)2
= 3.02 + 4.332 ≒ 27.8
よって
σZ ≒ √27.8 ≒ 5.27 mm となる。
角度を秒のまま入れない こと。誤差伝播で角度を使うときは、問題文の指示どおり ラジアン に直してから代入する。
したがって答えは 3。（5.27 mm）である。
関連知識 2つの観測量が独立でない場合、誤差伝播式には 2(∂f/∂x)(∂f/∂y)Cov(x,y) が加わる。共分散の符号により合成分散は増減するため、相関を0と置ける根拠を確認する必要がある。
問題・正答の出典：国土地理院「測量士・測量士補試験問題・解答例」。問題・解説は学習用に編集しています。解説は国土地理院が作成・推奨するものではありません。法令や作業規程の改正により、現在の取扱いと異なる場合があります。