問題
Q4. 図4に示すような三次元直交座標系において，ある点（x, y, z）を z 軸のまわりに図4に示す方向に θz だけ回転させたときの点（x′, y′, z′）は次の式4で表される。式4を参考に，点（x, y, z）を y 軸のまわりに図4に示す方向に 30° 回転させたとき，回転後の点（x″, y″, z″）を表す数式として最も適当なものはどれか。次の中から選べ。
なお，関数の値が必要な場合は，巻末の関数表を使用すること。
1．
(x″, y″, z″) = 1/2
[2 0 0]
[0 √3 -1]
[0 1 √3]
× (x, y, z)T
2．
(x″, y″, z″) = 1/2
[√3 -1 0]
[1 √3 0]
[0 0 2]
× (x, y, z)T
3．
(x″, y″, z″) = 1/2
[√3 0 -1]
[0 2 0]
[1 0 √3]
× (x, y, z)T
4．
(x″, y″, z″) = 1/2
[2 0 0]
[0 √3 1]
[0 -1 √3]
× (x, y, z)T
5．
(x″, y″, z″) = 1/2
[√3 0 1]
[0 2 0]
[-1 0 √3]
× (x, y, z)T
図4・式4
出題時の関数表
正解・解説
答え
答えは 5。
正答根拠
この問題は、y 軸まわりに 30° 回転させたときの三次元回転行列を選ばせる問題である。z 軸回りの式をそのまま当てはめるのではなく、どの軸の成分が不変かを先に押さえるのがコツ。
y 軸回りの回転では y 成分は変わらない。したがって
x″ = x cosθ + z sinθ
y″ = y
z″ = -x sinθ + z cosθ
x″ = x cosθ + z sinθ
y″ = y
z″ = -x sinθ + z cosθ
- まず 固定されるのは y 成分 だと確認する。
- 次に cos30° = √3/2、sin30° = 1/2 を式に入れる。
- 最後に、係数行列の並びを選択肢と照合する。
θ = 30° を入れると、
x″ = (√3/2)x + (1/2)z
y″ = y
z″ = -(1/2)x + (√3/2)z
となる。したがって回転行列は
1/2 [[√3, 0, 1], [0, 2, 0], [-1, 0, √3]] で表される。
y 軸回りなのに y を動かしてしまうミス が多い。どの軸のまわりに回すかを見たら、その軸方向の成分はそのまま残ると覚える。
したがって答えは 5。 である。
関連知識 回転行列Rの逆変換は R−1=RT で求められる。三次元ではx軸回りとy軸回りなどの回転順序を入れ替えると通常は結果が変わるため、行列を掛ける順番も座標系の定義に含まれる。
問題・正答の出典：国土地理院「測量士・測量士補試験問題・解答例」。問題・解説は学習用に編集しています。解説は国土地理院が作成・推奨するものではありません。法令や作業規程の改正により、現在の取扱いと異なる場合があります。