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技術士 基礎科目 令和4年度 Ⅰ－３－１｜問題と解説
問題 Ⅰ－３－１
x＝xiにおける導関数dfdxの差分表現として，誤っているものはどれか。ただし，添え字iは格子点を表すインデックス，格子幅をΔとする。
1 fi＋1−fiΔ
2 3fi−4fi−1＋fi−22Δ
3 fi＋1−fi−12Δ
4 fi＋1−2fi＋fi−1Δ2
5 fi−fi−1Δ
正解と解説
正解：4
解説一階微分なら直線の傾きを再現するはずなので、まずf(x)＝xを代入して調べる。
1．一次関数で候補を検査する
fi＝xi、fi±1＝xi±Δを代入する。前進・後退差分はΔ/Δ＝1、中心差分は2Δ/(2Δ)＝1。3点後退式も分子が 3xi−4(xi−Δ)＋(xi−2Δ) となり2Δなので1になる。
2．二階差分だけが0になる
残る式の分子は (xi＋Δ)−2xi＋(xi−Δ)＝0。本来の一階微分1を再現しない。
3．差分の次数を確認する
左右のTaylor展開を加えると奇数次項が消え、分子は Δ2f″(xi)＋O(Δ4)になる。Δ2で割るので、これは二階微分の近似である。
fi＋1−2fi＋fi−1Δ2は二階導関数の中心差分で、一階導関数の式ではない。
関連知識：中央の2階差分 （fi＋1－2fi＋fi－1）／Δ2 は，であることから2階微分の形である。
問題・正答の出典：公益社団法人 日本技術士会（公式の過去問題・公式正答）
掲載している解説は日本技術士会の公式解説ではありません。