問題
Q16. 次の文は，トータルステーション（以下「TS」という。）を用いて高低差を求める場合の精度（標準偏差）を計算した過程を示したものである。ア ～ オ に入る数値の組合せとして最も適当なものはどれか。次の中から選べ。
ただし，角度 1 ラジアンは，（2 × 105）″ とする。
なお，関数の値が必要な場合は，巻末の関数表を使用すること。
TS を用いて，放射法により既知点 A から求点 B までの高低差を求めるものとする。既知点 A から求点 B までの距離を D，高低角を θ，高低差を Z とすると，位置関係は図16のようになり，高低差 Z は式16−1で表される。
Z = f(D, θ) = D sinθ …… 式16−1
ここで，斜距離 D，高低角 θ それぞれの観測値の標準偏差を σD，σθ とした場合の，高低差 Z の標準偏差 σZ を求めることにする。
ただし，既知点 A から求点 B を観測した測定値は，斜距離の測定距離 D0 = 100.000 m，高低角 θ0 = 30°00′00″，使用した TS の距離測定の精度（標準偏差）は（5 + 5 × 10-6D）mm（D は mm 単位の測定距離），角度測定の精度（標準偏差）を 5″ とする。
また，TS による距離測定と角度測定は互いに影響を与えないものとし，その他の誤差は考えないものとする。
斜距離 D と高低角 θ の観測が互いに独立であることから，両者の共分散は 0 となる。それぞれの観測値の分散を σD2，σθ2 とした場合，高低差 Z の分散 σZ2 は，誤差伝播の法則から式16−2で求められる。
σZ2 = {∂f(D, θ)/∂D}2 σD2 + {∂f(D, θ)/∂θ}2 σθ2 …… 式16−2
D = D0，θ = θ0 のときの具体的な数値は，距離の単位を mm，角度の単位をラジアンとすると次のように計算できる。
{∂f(D, θ)/∂D}D=D₀, θ=θ₀ = ア
σD = イ
{∂f(D, θ)/∂θ}D=D₀, θ=θ₀ = ウ
σθ = エ
これらを式16−2に代入し，高低差 Z の標準偏差 σZ を計算すると，
σZ = √(σZ2) ≒ オ
となる。
ア イ ウ エ オ
1．0.5 2.75 50,000 0.000025 1.86
2．0.5 5.5 50,000 0.000025 3.02
3．0.5 5.5 86,603 0.000025 3.50
4．0.87 2.75 86,603 0.000050 4.95
5．0.87 10.0 50,000 0.000050 9.05
出題時の関数表
正解・解説
答え
答えは 3。
正答根拠
正しい組合せは 3。ア=0.5、イ=5.5、ウ=86,603、エ=0.000025、オ=3.50。
Z = D sinθ
σZ2 = (∂Z/∂D · σD)² + (∂Z/∂θ · σθ)²
σZ2 = (∂Z/∂D · σD)² + (∂Z/∂θ · σθ)²
- ∂Z/∂D = sin30° = 0.5 → ア
- ∂Z/∂θ = D cos30° = 100,000 × 0.86603 = 86,603（mm/rad）→ ウ
- 距離の標準偏差：5 mm + 5 ppm × 100 m = 5 + 0.5 = 5.5 mm → イ
- 角の標準偏差：問題指定の 1 rad = 200,000″ を用い、5″ = 5 / 200,000 = 0.000025 rad → エ
σZ2 = (0.5×5.5)² + (86,603×0.000025)²
= 2.75² + 2.165075² ≒ 12.25005
σZ ≈ √12.25005 ≈ 3.50 mm → オ
= 2.75² + 2.165075² ≒ 12.25005
σZ ≈ √12.25005 ≈ 3.50 mm → オ
関連知識 高低差 Z=D sinθ では、距離誤差の感度はsinθ、角度誤差の感度はD cosθである。低い仰角では角度誤差が効きやすく、急角度では距離誤差が相対的に効くため、支配的な誤差項は観測形状で変わる。
問題・正答の出典：国土地理院「測量士・測量士補試験問題・解答例」。問題・解説は学習用に編集しています。解説は国土地理院が作成・推奨するものではありません。法令や作業規程の改正により、現在の取扱いと異なる場合があります。