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技術士基礎科目令和4年度 Ⅰ－２－２｜問題と解説

問題 Ⅰ－２－２

4つの集合A，B，C，D が以下の4つの条件を満たしているとき、集合A，B，C，D すべての積集合の要素数の値はどれか。

条件1　　A，B，C，Dの要素数はそれぞれ11である。
条件2　　A，B，C，Dの任意の2つの集合の積集合の要素数はいずれも7である。
条件3　　A，B，C，Dの任意の3つの集合の積集合の要素数はいずれも4である。
条件4　　A，B，C，D すべての和集合の要素数は16である。

1　8

2　4

3　2

4　1

5　0

正解：3

解説

すべての集合に共通する要素数をxとして、4集合の包除原理から求める。

単独集合は4個、2集合の組は 4×3/2＝6組、3集合の組は除く1集合を選ぶので4組である。

和集合は単独の和から2重複を引き、3重複を足し、4重複を引く。

16＝4×11−6×7＋4×4−x

16＝18−x

x＝2

A∩B∩C∩Dの要素数は2個である。

関連知識：包除原理では，単独集合を足し，重複した2集合を引き，3集合の重複を足し，4集合すべての重複を引く。

問題・正答の出典：公益社団法人日本技術士会（公式の過去問題・公式正答）
掲載している解説は日本技術士会の公式解説ではありません。